สถิติเชิงพรรณนา (descriptive statistics) ใช้สรุปลักษณะของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ใน 3 ด้าน คือ ค่ากลาง การกระจาย และรูปร่างการแจกแจง โดยไม่สรุปอ้างอิงไปยังประชากร การสรุปอ้างอิงไปยังประชากรเป็นหน้าที่ของสถิติอนุมาน (inferential statistics) ซึ่งในโปรแกรมนี้มี 2 ส่วน คือ ช่วงความเชื่อมั่น 95% ของค่าเฉลี่ย และการทดสอบ Shapiro–Wilk
สถิติที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับระดับการวัดของตัวแปร (Stevens, 1946)
| ระดับการวัด | ตัวอย่าง | สถิติที่เหมาะสม | ใช้โปรแกรมนี้ได้ |
|---|---|---|---|
| นามบัญญัติ (Nominal) | เพศ ศาสนา คณะ | ความถี่ ร้อยละ ฐานนิยม | ไม่เหมาะ — รหัสตัวเลขของกลุ่มไม่มีความหมายเชิงปริมาณ |
| เรียงอันดับ (Ordinal) | อันดับที่ ระดับการศึกษา ข้อคำถามมาตรประมาณค่ารายข้อ | ความถี่ มัธยฐาน ควอร์ไทล์ IQR | ได้ โดยเน้น Mdn, IQR และตารางความถี่ |
| อันตรภาค (Interval) | คะแนนสอบ อุณหภูมิ (°C) คะแนนรวมของแบบวัด | ทุกสถิติ ยกเว้น CV | ได้ |
| อัตราส่วน (Ratio) | น้ำหนัก รายได้ เวลา ระยะทาง | ทุกสถิติรวมทั้ง CV | ได้ |
โครงสร้างข้อมูล: หนึ่งแถวคือหนึ่งหน่วยข้อมูล (เช่น ผู้ตอบหนึ่งคน) และหนึ่งคอลัมน์คือหนึ่งตัวแปร ไม่ควรรวมคอลัมน์ของตัวแปรต่างชนิดกันเป็นชุดเดียว เพราะผลที่ได้จะไม่มีความหมายทางสถิติ
ในข้อมูลที่เบ้ขวา (ทางบวก) ค่าเฉลี่ยมักมากกว่ามัธยฐาน และในข้อมูลที่เบ้ซ้ายค่าเฉลี่ยมักน้อยกว่ามัธยฐาน อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์นี้เป็นเพียงแนวโน้ม ไม่ใช่กฎตายตัว โดยเฉพาะในข้อมูลไม่ต่อเนื่อง (von Hippel, 2005) จึงไม่ควรใช้ตัดสินความเบ้แทนค่าสถิติความเบ้
ช่วงความเชื่อมั่น 95% ของค่าเฉลี่ย คำนวณจาก x̄ ± t.975, n−1 · SE ซึ่งถูกต้องแม้กลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก การแปลความหมายที่ถูกต้องคือ หากสุ่มตัวอย่างซ้ำหลายครั้งและสร้างช่วงด้วยวิธีเดียวกัน ประมาณ 95% ของช่วงทั้งหมดจะครอบคลุมค่าเฉลี่ยประชากร ไม่ได้หมายความว่าช่วงที่คำนวณได้ช่วงหนึ่งมีโอกาส 95% ที่จะครอบคลุมค่าเฉลี่ยประชากร ทั้งนี้ต้องมีข้อตกลงว่าข้อมูลได้มาจากการสุ่ม
ควอร์ไทล์แบ่งข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน (Q₁, Q₂ = มัธยฐาน, Q₃) แต่การคำนวณไม่มีวิธีเดียวที่ถูกต้อง Hyndman และ Fan (1996) รวบรวมวิธีที่โปรแกรมสถิติต่าง ๆ ใช้ไว้ถึง 9 วิธี ซึ่งให้ผลต่างกันได้มากเมื่อ n มีขนาดเล็ก โปรแกรมนี้มีให้เลือก 3 วิธี
| วิธี | ตำแหน่งของ Qp | ตรงกับ | ตัวอย่าง Q₃* |
|---|---|---|---|
| Weighted average (ค่าเริ่มต้น) | (n + 1)p | SPSS Frequencies, Excel QUARTILE.EXC | 9.75 |
| Linear interpolation | (n − 1)p + 1 | Excel QUARTILE.INC, R, NumPy | 8.50 |
| Tukey's hinges | มัธยฐานของครึ่งล่าง/บน (รวมมัธยฐานเมื่อ n คี่) | SPSS Explore (Box plot) | 9.00 |
* ข้อมูลตัวอย่าง: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 12, 30 (n = 10)
เนื่องจากค่าที่ได้ต่างกันตามวิธี ผู้วิจัยต้องระบุวิธีคำนวณในรายงาน และใช้วิธีเดียวกันตลอดทั้งงานวิจัย ค่า IQR รั้วของ Tukey และแผนภูมิกล่องในโปรแกรมนี้คำนวณจากวิธีที่เลือก
ความเบ้ (Skewness, G₁) บอกความไม่สมมาตรของการแจกแจง ค่า 0 หมายถึงสมมาตร ค่าบวกหมายถึงหางยาวไปทางขวา (เบ้ขวา) และค่าลบหมายถึงหางยาวไปทางซ้าย (เบ้ซ้าย) เกณฑ์ของ Bulmer (1979) คือ |G₁| < 0.5 ค่อนข้างสมมาตร, 0.5–1 เบ้ปานกลาง และ > 1 เบ้มาก
ความโด่งส่วนเกิน (Excess kurtosis, G₂) มีค่าเท่ากับ 0 ในการแจกแจงปกติ ค่าบวก (leptokurtic) หมายถึงหางหนาและมีค่าสุดขั้วมากกว่าโค้งปกติ ค่าลบ (platykurtic) หมายถึงหางบาง ความโด่งสะท้อนลักษณะของหางการแจกแจงมากกว่าความแหลมของยอด (Westfall, 2014)
โปรแกรมใช้สูตร G₁ และ G₂ แบบปรับแก้สำหรับกลุ่มตัวอย่าง (Joanes & Gill, 1998) ซึ่งให้ค่าตรงกับ SPSS และ Excel (SKEW, KURT) พร้อมความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน SEG1 = √[6n(n−1) / ((n−2)(n+1)(n+3))] และ SEG2 = 2SEG1√[(n²−1) / ((n−3)(n+5))] จากนั้นนำมาคำนวณค่า z = G / SE เพื่อใช้ทดสอบ
สถิติอิงพารามิเตอร์หลายชนิด เช่น t-test, ANOVA และการวิเคราะห์ถดถอย มีข้อตกลงเบื้องต้นด้านการแจกแจงปกติ ควรตรวจสอบหลายวิธีร่วมกัน ได้แก่ วิธีกราฟ (ฮิสโตแกรม และ Normal Q–Q plot) วิธีตัวเลข (ค่า z ของความเบ้และความโด่ง) และการทดสอบทางสถิติ ซึ่ง Shapiro–Wilk มีอำนาจการทดสอบสูงที่สุดเมื่อเทียบกับการทดสอบที่นิยมใช้อื่น ๆ (Razali & Wah, 2011) โปรแกรมใช้เกณฑ์ตามขนาดตัวอย่างของ Kim (2013) ดังนี้
| ขนาดตัวอย่าง | เกณฑ์หลัก | เกณฑ์ประกอบ |
|---|---|---|
| n < 50 | Shapiro–Wilk p ≥ .05 และ |z| < 1.96 | Q–Q plot |
| 50 ≤ n < 300 | |z| < 3.29 ทั้งความเบ้และความโด่ง | Shapiro–Wilk, Q–Q plot |
| n ≥ 300 | |G₁| < 2 และ |G₂| < 7 (West et al., 1995) | ฮิสโตแกรม, Q–Q plot |
ค่าผิดปกติ (outliers) ระบุด้วยรั้วของ Tukey (1977): ค่าที่น้อยกว่า Q₁ − 1.5IQR หรือมากกว่า Q₃ + 1.5IQR และค่าสุดโต่ง (extreme) ที่ระยะ 3IQR ค่าผิดปกติไม่ควรถูกตัดทิ้งเพียงเพราะอยู่นอกรั้ว ควรตรวจสอบก่อนว่าเกิดจากความผิดพลาดในการบันทึกข้อมูลหรือเป็นค่าจริง และรายงานวิธีจัดการอย่างโปร่งใส (Aguinis et al., 2013)
ตารางแจกแจงความถี่: ข้อมูลจำนวนเต็มที่มีค่าไม่ซ้ำกันไม่เกิน 20 ค่า (เช่น มาตรประมาณค่า 1–5) นำเสนอเป็นรายค่า ส่วนข้อมูลต่อเนื่องจัดเป็นอันตรภาคชั้นที่กว้างเท่ากัน จำนวนชั้น k = ⌈1 + log₂n⌉ ตามกฎของ Sturges (1926) แต่ละชั้นเป็นช่วงกึ่งเปิด [L, U) คือ L ≤ x < U ยกเว้นชั้นสุดท้ายที่รวมค่าสูงสุด เมื่อ n มีขนาดใหญ่มาก กฎนี้อาจให้จำนวนชั้นน้อยเกินไป ควรดูร่วมกับ Q–Q plot
แผนภูมิ: ฮิสโตแกรม (แท่งชิดกัน) ใช้กับข้อมูลต่อเนื่อง ส่วนแผนภูมิแท่งแยกกันใช้กับข้อมูลรายค่า เส้นโค้งปกติที่ซ้อนทับคำนวณจาก M และ SD ของข้อมูล ใน Normal Q–Q plot หากจุดเรียงตัวใกล้เส้นอ้างอิงแสดงว่าข้อมูลใกล้เคียงการแจกแจงปกติ จุดที่โค้งออกที่ปลายทั้งสองด้านแสดงความเบ้หรือหางหนา
Aguinis, H., Gottfredson, R. K., & Joo, H. (2013). Best-practice recommendations for defining, identifying, and handling outliers. Organizational Research Methods, 16(2), 270–301.
American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.).
Bulmer, M. G. (1979). Principles of statistics. Dover.
Ghasemi, A., & Zahediasl, S. (2012). Normality tests for statistical analysis: A guide for non-statisticians. International Journal of Endocrinology and Metabolism, 10(2), 486–489.
Hyndman, R. J., & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
Joanes, D. N., & Gill, C. A. (1998). Comparing measures of sample skewness and kurtosis. The Statistician, 47(1), 183–189.
Kim, H.-Y. (2013). Statistical notes for clinical researchers: Assessing normal distribution (2) using skewness and kurtosis. Restorative Dentistry & Endodontics, 38(1), 52–54.
Norman, G. (2010). Likert scales, levels of measurement and the "laws" of statistics. Advances in Health Sciences Education, 15(5), 625–632.
Razali, N. M., & Wah, Y. B. (2011). Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests. Journal of Statistical Modeling and Analytics, 2(1), 21–33.
Stevens, S. S. (1946). On the theory of scales of measurement. Science, 103(2684), 677–680.
Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66.
Tukey, J. W. (1977). Exploratory data analysis. Addison-Wesley.
von Hippel, P. T. (2005). Mean, median, and skew: Correcting a textbook rule. Journal of Statistics Education, 13(2).
West, S. G., Finch, J. F., & Curran, P. J. (1995). Structural equation models with nonnormal variables: Problems and remedies. In R. H. Hoyle (Ed.), Structural equation modeling: Concepts, issues, and applications (pp. 56–75). Sage.
Westfall, P. H. (2014). Kurtosis as peakedness, 1905–2014. R.I.P. The American Statistician, 68(3), 191–195.
| สถิติ | สูตร | หมายเหตุ |
|---|---|---|
| ค่าเฉลี่ย (M, x̄) | x̄ = Σx / n | ค่ากลางเลขคณิต |
| ความแปรปรวน (s²) | s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1) | ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง (Bessel's correction) |
| ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) | s = √s² | ต้องการ n ≥ 2 |
| ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (SE) | SE = s / √n | ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย |
| ช่วงความเชื่อมั่น 95% | x̄ ± t.975, n−1 · SE | ใช้การแจกแจง t (ไม่ใช่ z) จึงถูกต้องแม้ n เล็ก |
| มัธยฐาน (Mdn) | x((n+1)/2) หรือ [x(n/2) + x(n/2+1)] / 2 | จากข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว |
| ควอร์ไทล์ (Q₁, Q₃) | (n+1)p · (n−1)p+1 · Tukey hinges | ผลต่างกันได้ตามวิธี ต้องระบุวิธีในรายงาน (Hyndman & Fan, 1996) |
| พิสัยควอร์ไทล์ (IQR) | IQR = Q₃ − Q₁ | รั้วของ Tukey: Q₁ − 1.5·IQR, Q₃ + 1.5·IQR (ค่าสุดโต่ง: 3·IQR) |
| ความเบ้ (G₁) | G₁ = n / [(n−1)(n−2)] · Σ[(x − x̄)/s]³ | = Excel SKEW(), SPSS; SE = √{6n(n−1) / [(n−2)(n+1)(n+3)]} |
| ความโด่งส่วนเกิน (G₂) | G₂ = n(n+1) / [(n−1)(n−2)(n−3)] · Σ[(x − x̄)/s]⁴ − 3(n−1)² / [(n−2)(n−3)] | = Excel KURT(), SPSS; SE = 2·SEG₁·√{(n²−1) / [(n−3)(n+5)]}; ค่าปกติ = 0 |
| ค่า z ของความเบ้/ความโด่ง | z = G / SE | เกณฑ์ตามขนาดตัวอย่าง (Kim, 2013) |
| Shapiro–Wilk | W = (Σ aᵢx₍ᵢ₎)² / Σ(x − x̄)² | อัลกอริทึม Royston (1995) AS R94; 3 ≤ n ≤ 5000; ผลตรงกับ SPSS/R |
| สัมประสิทธิ์การแปรผัน (CV) | CV = (s / x̄) × 100 | รายงานเฉพาะเมื่อข้อมูลทุกค่า > 0 (มาตราอัตราส่วน) |
| จำนวนชั้น (k) | k = ⌈1 + log₂ n⌉ | กฎของ Sturges (1926) สำหรับข้อมูลต่อเนื่อง |